Reseña

Navidad de 1610, un hombre cruza el Puente de Carlos en Praga, nieva y los copos de nieve caen sobre la solapa de su abrigo. Es Johannes Kepler, pensando en qué regalo de Año Nuevo podría ser el más apropiado para su benefactor y amigo Johannes Matthäus Wäckher von Wackenfelds. Observa los copos de nieve, y en ellos encuentra una extraña regularidad. Como buen científico, no puede evitar preguntarse sobre ello: ¿por qué todos tienen forma hexagonal?, ¿por qué no tienen cinco lados o siete? Kepler piensa que este tema podría ser el motivo para un ensayo, un excelente regalo de Año Nuevo para su benefactor. Así escribe su obra «Strena seu de nive sexángula» (El copo de nieve de seis ángulos), un librito de unas escasas 24 páginas que constituye, sin duda, una obra maestra.

Breve introducción

Después de todo, todo ha sido nada,

a pesar de que un día lo fue todo.

Después de nada, o después de todo,

supe que todo no era más que nada.

Grito <¡todo!>, y el eco dice <¡nada!>.

Grito <¡nada!>, y el eco dice <¡todo!>.

Ahora sé que la nada lo era todo,

y todo era ceniza de la nada.

No queda nada de lo que fue nada.

(Era ilusión lo que creía todo y que,

en definitiva era la nada).

Qué más da que la nada fuera nada

si más nada será, después de todo,

después de tanto todo para nada.

Pepe Hierro

El lector tiene ante sí una verdadera delicia, algo que puede calificarse como una maravilla del ingenio y de la sutileza, de la finesse, que caracterizaron al espíritu científico en sus inicios. Pocas veces un divertimento es tan sugerente y derrocha tantas ideas.

Kepler desea hacer un gracioso regalo de nada a uno de sus protectores. La búsqueda de esa nada va encadenando una serie de asociaciones y reflexiones que constituyen un conjunto de explicaciones materiales a diferentes fenómenos naturales: las formas matemáticas son bellas, pero antes de fundamentar su origen en la belleza o en el Creador se debe agotar la posibilidad de que las causas físicas sean el principio formativo.

Los estudios sobre poliedros que llevó a cabo Kepler para la astronomía siguiendo el modelo del Timeo de Platón conducen su investigación hacia nuevos sólidos. El Mysterium cosmographicum [ver ilustración] fue una obra fallida pero sugestiva. Más tarde Kepler elimina los poliedros del cosmos para centrarse en la órbita elíptica de Marte y desarrollar las leyes matemáticas que le han inmortalizado.

A Kepler debemos no solo el descubrimiento de dos poliedros regulares cóncavos, el pequeño y el gran dodecaedro estrellado, también definió y utilizó dos importantes sólidos de Catalan: el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico.

De especial importancia en el mundo físico es el dodecaedro rómbico. Kepler se percató de que es un poliedro que aparte de llenar el espacio estaba relacionado con su optimización. El matemático alemán encuentra la forma del rombo-dodecaedro en la granada y en el panal de abejas e intuye leyes generales de acoplamiento de esferas relacionadas con dicho poliedro. Al sutil Kepler ni siquiera le faltaron las referencias a la cristalografía, y al final del escrito menciona sales rómbicas. Kepler teniendo en sus manos un cristal de granate nos haría levitar.

Hay dos formas óptimas de empaquetamiento de esferas iguales, relacionadas cada una de ellas con los sistemas cristalinos cúbico centrado en las caras y hexagonal compacto, en ambos sistemas aparecen las formas rómbicas de Kepler. En nuestros días el problema del frutero, la conjetura de Kepler fue enunciada en 1611 en el Strena, ha sido resuelto con el recurso del ordenador.

La ofrenda fue escrita en latín; tanto el texto latino como la traducción inglesa pueden descargarse libremente de la red. Su lectura produjo tal hechizo en nosotros que hemos tenido el atrevimiento de ponerla en quizá no muy buen castellano. Nuestra versión se ha hecho usando la edición latina, la inglesa y la francesa anotada. Si aún con tan pobre traducción resulta algo embriagador, muchos juegos lingüísticos se pierden, imagínate benevolente lector si dispusieras para su lectura del original. Si esta presentación incita a alguien más dotado a verter a nuestra lengua el Strena, la tarea de presentarla habrá merecido la pena.

El Strena es una obra pequeña en extensión pero tan sugerente que ha tenido gran influencia. Kepler la escribió en plena madurez creativa, tras editar Astronomía Nova y antes de Harmonices Mundi, sus dos obras fundamentales. El texto es por momentos brillante y claro, y en ocasiones resulta oscuro para quienes nos hemos alejado de la forma de argumentar de la escolástica y de la filosofía natural de Aristóteles.

Las figuras pertenecen al original, pero las fotografías se han añadido, al igual que algunas notas a pie de página, convenientes para situar las muchas referencias eruditas que usa Kepler.

Disfrute el lector o la lectora de esta inmensa nada.

Ana García Azcárate

Ángel Requena Fraile

Melilla, 2011

Soy consciente del aprecio que usted tiene por la nada, no tanto por su escaso valor, como por el gusto que esto le produce. Dados tanto su encanto como su ingenio, usted disfruta con la nada tal si fuera un alegre gorrión. Por ello adivino fácilmente que el mejor regalo será bien recibido en tanto más se acerque a nada.

Cualquiera que sea la cosa que le atraiga como evocación de nada, debe ser de poca importancia, de pequeña talla y precio mínimo, efímero; de hecho debería ser casi nada. Como tales cosas abundan en la naturaleza será preciso escoger. Usted quizás pensará en los átomos de Epicuro: pero eso no llega a ser nada del todo. Nada ha obtenido usted de mí hasta ahora. Pasemos revista a los cuatro elementos[1], es decir, lo que es más pequeño de cada clase.

No piense en la tierra: no sueñe con aquel tesoro de mi admirado Arquímedes[2], que descompuso la tierra en granos de arena y es el que adivinó diez mil partículas de polvo en cada semilla de amapola. Bastaría quitar uno de los números de su sistema, con sus decenas de miles, y se produciría la confusión más completa. Más aun, la forma de tales partículas no es ni visible al ojo, ni fue divulgada por Arquímedes. No hay así nada en ellos que estimule el ingenio, nada que excite el deseo de adivinar lo desconocido. Además, el polvo es una cosa duradera, que ejerce su dominio cubriendo las viejas y carcomidas vigas. Si este fuera mi regalo para usted le daría demasiado.

Tampoco sirve el fuego, las chispas, pequeñas y evanescentes, que en cualquier caso no son nunca más pequeñas que el polvo que el sílex pierde cuando es golpeado o que la leve carbonilla de las brasas de los rescoldos; y estos ya se han rechazado al desechar las partículas de polvo. Dejo a Platón sus formas piramidales[3] que nunca he visto, que las maneje a su antojo para moldear el fuego. Debemos pasar a los otros elementos.

El aire: podría darle el viento y el humo, pero ellos están a la venta, no sólo en los pellejos islandeses, también sobre el papel y aún en la palabra hablada, y esto puede encontrarlo en todas las partes del mundo. Además el humo es una materia cara, demasiado para mi. Tampoco es apropiado para el ingenio por ser informe su materia prima.

Nos quedan los líquidos. La última gota que se adhiere al vaso es tratada por venerables poetas con desprecio. Nuestros alemanes también menosprecian la última gotita de vino que dejan caer sobre su uña cuando la copa se vacía y en ella queda adherida por su propio peso. Si ofreciera esta gota, seguramente daría menos que el famoso persa que vertió agua del río Choaspes en el hueco de su mano para salvar a su rey[4]. La gota de vino de la uña de un alemán es un regalo más noble que la suciedad de la uña de un roñoso o la del italiano que incluso hasta eso niega. Finalmente, la forma esférica de una gota en sí misma nos sugiere una disquisición geométrica. Pero tengo miedo de que aún esto sea demasiado para usted, quien tanto busca el placer en nada.

¿Y si pasamos a los animales? Tengo miedo de que esto pueda ser similar a aportar búhos a Atenas[5]. En efecto, recientemente vi en su casa los libros sobre objetos únicos y raros escritos por el autor que suprime el movimiento, siguiendo la escuela antigua de Parménides[6], pues el movimiento es lo pasado e imperfecto. Como esta obra incluye muchos monstruos, me imagino no faltaran en él animálculos de extrema pequeñez. No hay ninguna necesidad de hacer conjeturas. Usted posee las Reprobaciones[7] de Scaligero de las Sutilezas de Cardano. Usted encontrará allí, en el ejercicio 194, párrafo 7, un animal minúsculo, el ácaro subcutáneo. Pero aún este es demasiado grande. Porque este animálculo tiene movimiento y, por ello, alma. ¿Cómo voy a ofrecerle un alma cuando incluso he evitado el regalo de una gota inanimada? A no ser que quizás usted espere descubrir algo nuevo en la disección de ese mínimo insecto andador. ¡Dejemos que el anatomista, el Doctor Jessen[8], examine esto!

Abrumado por tales reflexiones crucé el puente, avergonzado por mi descortesía, por presentarme ante usted sin un regalo de año nuevo, a menos que yo repitiera sin cesar el mismo acorde, entregando la vulgar nada de todo el mundo. Me molestaba también no encontrar lo que es casi nada, y que se prestara a la agudeza de ingenio. Por suerte se dio la feliz casualidad que un poco de vapor de agua se condensó por el frío en forma de nieve, y sus copos cayeron aquí y allá sobre mi abrigo, todos con seis esquinas y emplumados radios.

¡Por Hércules, doy mi palabra, eso es una cosa más pequeña que cualquier gota y que sin embargo posee estructura! Había encontrado el regalo ideal de año nuevo para el devoto de nada, la cosa digna que puede ofrecer un matemático, que no tiene nada y no recibe nada, ya que los copos bajan del cielo y se asemejan a las estrellas.

Volvamos raudos a la casa de mi protector, antes que el regalo de año nuevo se desvanezca por efecto del calor de mi cuerpo que lo derrite y lo reduce a nada.

Una palabra define la situación ¡Cuánto placer para Wacker, el devoto de nada! Pregunte a un alemán por nix[9] -un copo de nieve- y él contestará si sabe latín: nihil.

Entonces le ruego acepte sin dudar este enriquecimiento por nada, y no decaiga su ánimo por el miedo a no recibir otra vez nada.

Como bien diserta Sócrates sobre cuan lejos puede saltar una pulga, nos hacemos la pregunta de por qué los copos de nieve en su primera caída, antes de que se entremezclen en grandes copos, siempre caen con seis ángulos, con seis vellosos radios similares a plumas. ¡Al diablo el desprecio del vulgo y la ignorancia de Aristófanes[10]! ¿Qué necesidad tengo de Sócrates y del tema de su obra? Mejor escucho al rey salmista[11], que recuerda entre las alabanzas de Dios que Él nos da la nieve como la lana. Por dicha frase, si no me confundo, él quiso designar los radios lanudos de mi pequeño copo. Podemos imaginarnos que cuando se sentaba cansado o se apoyaba en su báculo guardando su rebaño, vio y observó estas pequeñas estrellas de nieve cayendo y enganchándose a la lana de sus ovejas.

Pero, bromas aparte, vayamos al grano. Debe haber alguna causa definida para que, siempre que la nieve comienza a caer, su forma inicial sea invariablemente la de estrella de seis puntas. ¿Si pasara por casualidad, por qué no caen copos con cinco ángulos o con siete? ¿Por qué siempre con seis mientras permanecen aislados y no aglomerados en masas confusas?

Cuando recientemente tuve una conversación con alguien sobre este asunto, convinimos que la causa no debía ser buscada en la materia, sino en un agente. En efecto, la materia de la nieve es el vapor, y cuando el vapor se eleva desde la tierra por acción de algún calor inherente, termina condensado en un estado casi líquido, y por lo tanto no forma estrellas de esta clase.

Usted podría preguntar cómo puedo saber esto; pensaréis en efecto que si el vapor fuera así no puede ser observado, ya que es transparente. Mi respuesta es: el vapor proviene de la liberación de la humedad subterránea, tal queda demostrado por su peso ligero y tendencia a elevarse. Pero las formas no aparecen cuando se produce este tipo de liberación. Una cosa posee una forma en sí cuando tiene límites propios, los que constituyen su figura. El vapor liberado pertenece al género húmedo, es decir que fluye, no estando limitado por sí mismo, y no poseyendo ninguna forma propia hasta condensarse en nieve o en gota.

Desde entonces, convinimos que la causa de la forma impuesta de hexágono se debe a un agente, y también nos preguntamos qué agente era, y como actuaba. ¿Podría ser como una forma inherente o por causa impuesta desde fuera? ¿Está la forma de seis ángulos impuesta por una necesidad de su materia o es una exigencia de su propia naturaleza, una naturaleza que puede contemplar la idea arquetípica de la belleza inherente al hexágono o el conocimiento del fin al cual dicha forma está al servicio[12].

Para tomar una decisión clara sobre estas preguntas recurramos a tomar ejemplos familiares, y disponerlos a la manera geométrica. Un paréntesis de esta clase contribuirá mucho a resolver nuestro problema.

Si usted pregunta a los geómetras sobre la forma de los panales de las abejas, su respuesta será en forma de hexágono. La respuesta es obvia tras un mero vistazo a las aperturas o puertas, y a las paredes con los cuales están construidos los alveolos. Cada celda esta rodeada por otras seis, y cada una comparte una pared medianera entre ella y la siguiente.

Pero cuando usted examine el fondo de las celdas, verá que cada terminación está formada por tres planos en ángulo obtuso. Seis vértices forman este fondo, usted más bien podría llamarlo la quilla, cada una de las seis paredes de la celda terminan uniéndose, insertadas en un ángulo triedro, exactamente como el ángulo inferior de la quilla; los tres de más abajo en un ángulo con cuatro aristas[13]. Además debe anotarse que el orden de las celdas es doble. Uno abierto y el otro con las esquinas de cada quilla en una capa insertada entre las tres esquinas de las tres quillas de la segunda capa. La arquitectura es tal que cualquier celda comparte no sólo seis paredes con las seis celdas que lo rodean en la misma capa, sino también con las superficies planas de la base de las otras tres celdas de la capa contrapuesta.

El resultado es que cada abeja tiene nueve vecinas, separadas de cada una y cualquier otra por una pared medianera en común. Las superficies planas de la quilla son siempre tres. Todas se parecen y con la forma que los geómetras llamamos rombo.

Traigo estos rombos a colación para abordar un problema de geometría: ¿existirá un cuerpo, similar a los cinco poliedros sólidos regulares y a los catorce poliedros sólidos arquimedianos[14] que pueda ser construido nada más que con rombos?

Encontré dos, uno con afinidad al cubo y al octaedro, otro al dodecaedro y al icosaedro, el cubo mismo puede servir para representar un tercero, poseyendo la afinidad con dos tetraedros acoplados juntos[15]. El primero esta formado por doce rombos[16], el segundo por treinta[17]. Pero el primero tiene una propiedad en común con el cubo: los ocho vértices de ocho cubos embalados juntos llenan el espacio entero y no dejan ninguno vacío. Los poliedros sólidos rómbicos de la primera clase [dodecaedro rómbico] tienen la misma propiedad: los vértices de ángulos obtusos (con tres aristas) rellenan juntándose de cuatro en cuatro, en tanto que los de cuatro aristas (ángulos agudos) hacen lo propio al juntarse de seis en seis. Así un espacio sólido puede llenarse usando nada más que estos rombos, tal que siempre cuatro esquinas triláteras [formado por tres planos que se cruzan] o seis esquinas de cuatro lados [formado por cuatro planos que se cruzan] se encuentran en el punto mismo, y un cierto volumen se completa. Cuando un espacio sólido está lleno por cubos iguales clasificados en filas rectas [horizontalmente y verticalmente], entonces un cubo toca otros treinta y dos por conexiones simples de un vértice, y toca otros seis por caras completas, y así cada cubo esta en contacto con treinta y ocho[18]. Pero cuando el espacio está lleno por poliedros sólidos iguales rómbicos, entonces cada rómbico toca a otros seis en contactos de un vértice y a otros doce por caras completas, y así un dodecaedro rómbico resulta estar en contacto con otros dieciocho de una u otra forma.

Por consiguiente esta es la figura geométrica de un sólido casi regular, que llena el espacio, tal como el hexágono, el cuadrado, y el triángulo son los que rellenan una superficie plana. Esta, repito, es la figura con la cual las abejas forman sus panales, sólo con la excepción de que las celdas no han conseguido que los techos sean de la misma clase que su quilla.

Si las abejas también añadieran techos rómbicos, cualquier abeja quedaría atrapada entre otras doce o dieciocho y no tendría ninguna salida. En consecuencia, ellas no tienen ninguna necesidad de techar, no hay nada que impida la prolongación de las seis paredes de cada celda por el tamaño de su menguado cuerpo más allá del límite de los rombos de las quillas, y que las fabriquen diferentes de las del otro lado.

Otro asunto: si uno abre una granada bastante grande verá la mayor parte de sus granos comprimidos en la misma forma rómbica, excepto en las zonas por donde se encuentran los canales a través de los cuales se les suministra su alimentación.

Ahora la pregunta que surge de estos dos ejemplos: ¿qué agente crea la forma rómbica en las celdas del panal y en el grano de la granada? La materia no es la causa. En ninguna parte las abejas encuentran las hojas rómbicas de esta clase listas para reunirse y utilizarlas para la construcción de sus pequeñas viviendas; y no es probable que sea solo el grano de granadas el que se hinche en rombos, mientras que en todas las demás frutas las bayas resultan esféricas, donde no haya nada que las obstaculice. La savia va llenando las envolturas flexibles, acumulándose de tal forma que los granos de la granada se hinchan y sobresalen por donde encuentran sitio.

En el grano de la granada, en todo caso, la causa de su forma se encuentra en el alma de la planta, el principio vital, que se ocupa del crecimiento de su fruto. Pero esto no es una causa suficiente de su forma: ya que ello no es la propiedad formal que induce esta forma en su fruto, pero la necesidad material le ayuda. El grano en sus inicios, cuando son pequeños, son esféricos, mientras haya bastante espacio para ellos dentro de la corteza. Pero más tarde la corteza se endurece, mientras el grano sigue creciendo, entonces se embalan y comprimen juntos, de la misma manera que los guisantes lo hacen también dentro de sus vainas oblongas. Pero los guisantes no tienen nada en ninguna dirección que les impida el paso, pues ellos están puestos en hilera dentro de sus vainas oblongas: entonces son comprimidos en sólo dos lados. Los granos de las granadas, sin embargo, al principio consiguen más libertad en el espacio y fácilmente crecen en el lugar, cada uno entre los tres que se hinchan de la fila de enfrente, su redondez les ayuda, y desvían su savia lejos de donde ellos están bajo la presión en los espacios vacíos. Ahora si uno incluye en un recipiente redondo un número de bolas redondas de tamaño igual y de materia elástica, y luego comienza a apretarlos por todas direcciones, entonces las bolas serán presionadas hacia una forma rómbica; sobre todo si primero al sacudir con fuerza el recipiente se permite a las bolas que puedan rodar libremente y ocupar el menor espacio. Si en cambio usted comprimiera un modelo de bolas en forma de cuadricula que no puedan ser desplazadas, entonces se obtienen cubos.

En general, las bolas iguales contenidas en cualquier recipiente se pueden colocar de dos modos diferentes según sean colocadas sus filas en un plano.

En efecto, si agrupáis bolas iguales situadas en el mismo plano horizontal y las colocáis juntas tan fuerte que ellas se toquen las unas contra las otras, ellas se sitúan juntas en forma triangular o en un modelo cuadrado. En el primer caso cada bola está en contacto con seis; y en el segundo con cuatro. En todas partes hay el mismo modelo de contacto entre todas las bolas excepto en las fronterizas con el exterior. Con esta uniformidad el modelo no puede ser pentagonal. Un modelo seis caras se rompe en trilátero. Así sólo pueden darse los dos modelos descritos.

Ahora, si usted continúa comprimiendo los cuerpos sólidos tan fuerte como le sea posible, y pone las filas de cada nivel sobre la cima de otra, capa sobre capa, las bolas forman cuadrados (diagrama A), o triángulos (la B en el diagrama). Si son cuadrados, cada bola de la capa superior descansará sobre una sola bola de más abajo, o, en la otra disposición, cada bola del plano superior se colocará entre cuatro del plano inferior. En el primer modo cuatro vecinas tocan cualquier bola en el mismo plano, una por una encima y otra debajo, y así en todas partes, por ello cada bola está en contacto con otras seis. La disposición será cúbica, y las bolas, cuando sean presionadas, se harán cubos. Pero no será este el empaquetamiento más apretado.

En el segundo modo no sólo cada bola es tocada por sus cuatro vecinos en el mismo plano, también por cuatro en el plano de encima y por cuatro debajo, y en todas partes una se tocará con doce, y bajo la presión las bolas esféricas se harán rómbicas. Esta forma será más comparable al octaedro y la pirámide. El empaquetado será el más apretado posible, de modo que en ninguna otra disposición pudiera haber más bolas llenando el mismo contenedor.[19]

Además, si la disposición en el plano es triangular en el plano es triangular, entonces en su disposición espacial o bien cada bola de la capa superior descansa sobre una de la capa inferior, si el embalaje es otra vez poco opresivo; o bien cada bola de la capa superior se colocará entre cada tres de la inferior.

En el primer modo seis vecinas tocan cualquier bola en el mismo plano, más una encima y otra por debajo de su nivel, y así en total ocho bolas. El modelo será comparable al prisma hexagonal, y, cuando la presión sea aplicada se obtendrán columnas de seis lados rectangulares con dos bases hexagonales en vez de las bolas.

En el otro modelo, ocurrirá el mismo resultado como antes en el segundo modo de la disposición cuadrada, Así, véase en la figura B un grupo de tres bolas; póngase una A, sobre ellas como el ápice; deje ver allí también otro grupo, C, de seis bolas; el otro, D, de diez; y el otro, E, de quince.

Con regularidad se superpone el más estrecho al más amplio para producir la forma de una pirámide. Con esta construcción cada bola de una capa superior se asienta sobre tres de la inferior, sin embargo si usted diera la vuelta a la figura de modo que no solo el ápice sino un lado entero de la pirámide sea más alto, usted encontrará, siempre que extraiga una bola de la cima que cuatro descansan bajo ella en el modelo cuadrado. Otra vez como antes, otras doce tocarán cada bola, disposición formada por seis vecinas en el mismo plano, y por tres encima y tres debajo. Así en el empaquetamiento espacial más compacto, el modelo triangular no puede existir sin el cuadrado, y viceversa. Es por lo tanto obvio que el grano de la granada es comprimido a la forma de un sólido rómbico: una necesidad material se junta al principio del crecimiento. Los granos globulares, unos frente a los otros, se empujan cara con cara, y son desplazados y resbalan por los espacios dejados entre tres o cuatro granos enfrentados[20].

Pero en los panales la razón es diferente. Ya que las abejas no tienen que colocarse juntas y comprimidas sin orden ni concierto, como los granos en una fruta, sino organizadas como en línea de batalla, todas con sus cabezas en un mismo sentido o en su opuesto, y entonces todo su empuje se produce en el fondo común de las celdas. Ahora, si este tipo de empotramiento mutuo debe hacer la forma, tendría que ser tal que las celdas se superpusieran cuando las abejas segreguen su viscoso jugo, al igual que el cascaron de los caracoles crece sobre su espiral. Lo que es seguro es que las abejas forman sus propias celdas y ellas mismas construyen toda la estructura del panal desde sus inicios.

La abeja, por lo tanto, por naturaleza tiene este instinto como propio, construir de esta forma en lugar que otra. Este modelo original ha sido impreso sobre ellas por el Creador. Ni la cera, ni el cuerpo de la abeja, ni su crecimiento tienen nada que ver con ello.

Esta observación levanta inmediatamente la remota pregunta de la finalidad, no lo que la abeja en sí misma persiga en su negocio, sino lo que al mismo Dios, el creador de la abeja, tenía en mente cuando Él le prescribió este Canon de su arquitectura.

Después de todo en la concreción de la finalidad tienen que contemplarse los cuerpos y la materia. Tres cosas pueden ser dichas sobre este fin. La primera se encuentra con frecuencia entre los filósofos naturales, que prestan atención a la estructura hexagonal sólo como esta se presenta en apariencia con sus aperturas. Pero el plano queda cubierto por sólo tres formas regulares, el triángulo, el cuadrado, y el hexágono. De estas, el hexágono es el de máxima superficie, y con esto las abejas logran la máxima capacidad para almacenar su miel.

Además, este razonamiento puede ser ampliado a tres dimensiones, así: el espacio no puede ser dividido con poliedros excepto con cubos y formas romboidales[21]; y los rombos tienen más capacidad de almacenamiento que los cubos. Pero esta razón no basta, ¿ya que si espacio lo que ellas requieren, por qué no construyen un habitáculo circular? ¿Qué necesidad hay de eliminar los restos más diminutos de espacio como si hubiera necesidad de ahorrarlo en toda la colmena? Nuestra segunda causa es más probable, aunque también es insuficiente por los mismos motivos; a saber, que los sensibles cuerpos de las abejas jóvenes se alojan más cómodamente en una estructura con numerosos ángulos obtusos, y tanto más cercana a la forma circular, que en un cubo repleto de esquinas y con un fondo plano no acorde con un cuerpo redondeado.

Por consiguiente es necesario complementar con una tercera causa. El trabajo es menor si hay siempre dos abejas para construir la pared medianera, y la arquitectura en líneas rectas dan mayor estabilidad al mallado que si los habitáculos fueran redondos y por ello más fáciles de dislocar. Finalmente, las formas redondeadas dejan huecos al unirse y así el frío penetraría por los huecos. Por todo eso las abejas cuidan de construir su ciudad tal como lo canta Virgilio: con los techos comunes[22].

Estos motivos, los que conciernen a la necesidad material, son suficientes en mi opinión para perdonarme por no discutir en este punto la perfección, la belleza, o la dignidad del rómbico. Tampoco merece la pena argumentar que la esencia del alma diminuta de la abeja es seducida por la contemplación de la forma que construye. Nosotros hubiéramos tenido que hacer este tipo de reflexiones si no hubiera salido a la luz ninguna utilidad de la forma.

La granada debe ser comprendida de la misma manera. Una necesidad material conduce al grano a la forma rómbica por su crecimiento sucesivo. Es por lo tanto superfluo pensar en un principio interior del alma de este árbol que lo dirija a preferir el rómbico.

Por otra parte podemos preguntarnos por qué todos los árboles y arbustos, o al menos la mayor parte de ellos, muestran una flor de forma pentagonal, es decir con cantidad quinaria de pétalos. A la flor le sigue en sus frutos y en sus huesos una disposición quinaria o denaria: Dentro hay siempre cinco compartimentos para la recepción de las semillas, y diez venas. Esto es verdad en los pepinos y otros vegetales de esta clase. Aquí si hay lugar para especular sobre la belleza o la calidad especial de la forma que ha caracterizado el alma[23] de estas plantas. Es mi propósito divulgar mis pensamientos sobre este asunto.

De los dos mayores poliedros regulares, el dodecaedro y el icosaedro, el primero está formado precisamente por pentágonos, y el segundo por triángulos, pero triángulos que se encuentran cinco en un vértice. Ambos poliedros, y el pentágono en sí mismo, no pueden ser construidos sin lo que los geómetras modernos llaman divina proporción [la sección de oro]. Esta se construye mediante una sucesión cuyo tercer término es la suma de los dos anteriores en una serie que progresa indefinidamente. Es imposible proporcionar un valor exacto en números redondos[24].

Sin embargo, conforme avanzamos desde el número uno, el valor se va haciendo cada vez más perfecto. Sean los números más pequeños 1 y 1, que usted debe imaginarse como desiguales. Añádalos, y la suma será 2; añada a esto el uno superior y obtendrá 3; añada 2 a esto, y póngase 5; añada 3, póngase 8; 5 a 8, 13; 8 a 13, 21. Como 5 es a 8, entonces 8 es a 13, aproximadamente, y como 8 a 13, entonces 13 es a 21, aproximadamente[25].

En la semejanza con esta serie auto-desarrollada[26] es donde está la explicación de la forma de propagación. Es esta facultad seminal, en mi opinión, formada y mostrada en una flor, la auténtica muestra de esta, el pentágono. He obviado todos los demás argumentos que en una detallada reflexión podría aducir como prueba de esto. De ello se hablará en su momento. Aquí y ahora sólo proporciono este preámbulo por vía del ejemplo, de modo que nosotros estemos mejor equipados y preparados para la investigación de la forma hexagonal del copo de nieve.

Cuando nos propusimos investigar el origen de esta forma en los copos de nieve y decidir entre causas externas e internas, como una causa externa la primera en presentarse fue el frío. El frío seguramente da lugar a la condensación, y por la condensación el vapor se encoge en la forma de una estrella, y entonces nos pareció que el frío le dio aquella forma. Ahora llegamos a otra reflexión, ¿es el frío un elemento natural como el calor de los médicos? Esto habría parecido una mera negación [la ausencia de calor], sin una mente para diseñar el hexágono, y sin ninguna razón interna propia.

Pero para no mezclar problemas aceptemos que la condensación es el efecto de frío. La condensación podría haber ocurrido más correctamente entonces en la forma globular. En verdad, si el frío es imaginado ampliamente extendido y el vapor lo encuentra sobre toda la superficie, es más plausible que la condensación debería asumir una forma completamente plana, semejante a la superficie que encuentra, y tan ilimitada como ella. Supongamos que toda la parte superficial del vapor adquiere forma por el frío, por su peso, por su densidad, o por su movimiento de caída, en porciones o en láminas. No todas las láminas, sino más bien muy pocas, en verdad dudo si alguna, resultarán con forma de seis lados, y todavía menos con radios de rayas tan armoniosas.

Estas rayas me recordaron lo que pasa en los salones de los baños calientes y saturados de vapor, cuando la helada del invierno pone sitio a las aperturas de las ventanas. El aire frío y el vapor húmedo libran una lucha en tal frontera. Siempre que ellos entren el contacto mutuo, el calor sube y el frió baja; en el calor hay dilatación de la materia y en lo frío por contrario hay pesadez y densidad, y esto conduce lo caliente hacia arriba. Cuando el vapor empuja para escaparse en masa, el vacío[27] es evitado cuando el aire frío entra masivamente y los bordes de una ventana abierta o de una grieta se hacen muy fríos. Todo el vapor que se acerque a esos bordes inmediatamente se congela, y una cantidad equivalente de frío pasa a la materia. De modo el vapor que toca este hielo también se congela en un aumento ininterrumpido. El aire frío continua interviniendo y haciendo su camino hacia adentro sin desviarse. Por esta alternancia de entradas y salidas las formaciones de escarcha adquieren rayas y radios agudos.

Nada puede decirse en estos términos sobre la formación de nuestro pequeño copo de nieve. ¿Cuál es la entrada aquí, cuál es la extensión de aire, cual la salida, dónde la estrechez, dónde la escaramuza? Concederé que, al caer el aire con vapor desde arriba, algún crecimiento de los radios puede producirse por el contacto con los vapores. ¿Pero por qué en seis puntos? ¿Cuál es el origen del número seis? ¿Quién talló el núcleo, antes de que cayera en seis cuernos de hielo? ¿Qué causa fija en aquella superficie, en el acto mismo de condensación, los seis puntos en un círculo con seis radios ligados alrededor?

Entonces, la causa externa, el frío, no puede producir este resultado, debe haber forzosamente alguna causa interna que acompañe al vapor o sea su esencia.

Al sopesar estas ideas, se me ocurre preguntarme por qué los radios no están más bien distribuidos sobre el contorno de una esfera. ¿Si el calor interno es la causa de este resultado, por qué surte efecto esto sólo sobre una superficie plana? Después de todo, el calor esta uniformemente presente en todas las direcciones, y no se encuentra sólo en única capa de vapor.

Mientras me debatía con estos pensamientos, y mientras mi razón exigía radios distribuidos sobre el circulo entero, ocurrió algo que a menudo he mirado con asombro; las estrellas de esta clase no se extienden sobre una superficie plana desde el primer momento de su caída, sino que son sostenidas por algunas partes de ellas, y luego, después de pasar un momento, se depositan sobre el suelo. A este razonamiento, para hablar como un padre, y a esta observación como madre, debo el nacimiento de la noción siguiente: mientras estas estrellitas iniciales caen, están formadas por tres diámetros con plumas, unidos en diagonal, con sus seis extremidades igualmente

distribuidas en una esfera[28]; ellas caen sólo sobre tres de los radios emplumados, mientras los tres diametralmente opuestos las mantienen en el aire, hasta que los que sostenían la estrella se van flexionando y los que permanecían en el aire hasta entonces van resbalando poco a poco al mismo plano de los tres primeros.

Desarrollaré esta opinión y sólo después examinaré su verdad: me temo que manifestar su falsedad inoportunamente me impida realizar mi objetivo, hablar sobre nada.

Pongamos este discurso en cuestión. Cualquiera que fuese la causa de los seis radios esta se difundiría por igual por todas, en todas las direcciones. Por ejemplo si el frío es la causa de los seis radios, entonces el frío rodea cada partícula de vapor igualmente, o al menos en intervalos iguales por todas partes. O bien, si la causa es el calor interno, también actuaría en todas las direcciones a partir de un único y mismo centro.

Pero de este modo la pregunta aún no ha sido afrontada, sino sólo retrasada; ya que ello no deja aún claro por qué no son cinco ni siete, sino invariablemente seis radios con plumajes los que están ajustados a un mismo centro.

Ahora si usted pregunta a un geómetra en qué forma regular del espacio se cruzan perpendicularmente tres diámetros en el mismo punto (o en otras palabras, en forma de doble cruz), él contestará "en el octaedro", las líneas que unen sus seis vértices enfrentados forman esa doble cruz. ¿Cómo es que el copo de nieve al caer y antes de aplanarse imita con precisión el esqueleto del octaedro con sus tres diámetros con plumas que se cruzan perpendicularmente? Únanse las puntas vecinas de los radios con doce líneas consecutivas, y usted habrá representado un octaedro sólido completo.

¿Cuál es, entonces, la causa por la cual la condensación ocurra sobre estos tres radios con plumas más que en una esfera perfecta?

Puedo indicar un caso donde esto ocurre por necesidad material; pero esto implica algo que llama a más sorpresa que el problema mismo que debía haber solucionado. Sin embargo, levantaré mi voz para estudiar el caso de obtener la verdad siguiendo muchos rastros falsos. Supongamos entonces que el vapor se coagula en glóbulos de un tamaño definido, en cuanto comienza a sentir el inicio de frío. Esto es razonable, ya que la gota es la unidad natural más pequeña de un líquido como el agua, porque el agua por su peso no puede expandirse cuando su dimensión es menor que el tamaño de una gota. De la misma manera fácilmente pueden concederme que la materia de vapor posea una cierta tenacidad por la cual para resistirse al frío, se reduce a un límite definido, es decir, una gota de vapor.

En segundo lugar, supongamos que estas bolas de vapor tienen un cierto modo de contacto: por ejemplo, cuadrado en un plano, cúbico en un sólido, como en la imagen.

Así cualquier bola estará en contacto con otras seis, sólo cuatro de las cuales pueden ser ilustradas sobre una superficie plana; la quinta y sexta deben ser entendidas como puestas encima y debajo. Sobre esta suposición, con tal disposición de las bolas, el frío irrumpirá por los huecos, y las bolas se protegerán contra ello solamente en los seis puntos de contacto. Entonces la condensación se producirá hacia los centros de las bolas, pero también al mismo tiempo hacia los diámetros entre los puntos de contacto, donde las bolas están resguardadas del frío.

Pero, como dije antes, bien podríamos preguntarnos qué fuerza consigue situar las bolas en este modelo en línea recta.

Ahora bien, si materialmente no pudiera ser de otra manera, el asunto estaría ya zanjado, pero las bolas pueden colocarse de otros dos modos como se dijo anteriormente. A su vez las tres disposiciones pueden revolverse en un modo híbrido.

¿Aceptamos como causa el modelo cuadrado? Es la única forma idéntica en cada dirección y con los puntos de contacto uniformemente distribuidos, mientras que en los demás no ocurre eso.

En estos segundos modelos cada bola está en contacto con otras doce, como señalamos antes, y los intersticios entre las bolas son o bien triangulares o cuadrangulares. Mientras, en el primer modelo, cuadrado, todos los huecos son siempre de cuatro caras. En los segundos dos diámetros de los puntos enfrentados de contacto se cruzan perpendicularmente, pero no lo hacen así los cuatro restantes. En el primer modelo, los tres diámetros se cruzan uniformemente y perpendicularmente. Un cuboctaedro[29] es el resultado de la conexión de los extremos de los diámetros en el segundo caso, y un octaedro inscrito dentro de la pequeña esfera es el resultado del modelo cuadrado.

Esto muestra la superioridad de la disposición recta sobre la oblicua. Pero todavía no se vislumbra la causa que coloca las bolas de esta forma más que en la otra. ¿No puede el frío producir este efecto? ¿Pero cómo lo haría entonces?

Ya que si el frío produce cualquier efecto, este es el de condensación por penetración en el material donde hay huecos o donde su resistencia es más débil. Añado, para ser generoso, que el modelo recto puede ser causado por la caída vertical a la tierra. ¿Pero entonces de dónde viene la dirección lateral?

La reducción de posibilidades por lo tanto deja al calor interno del vapor como causa de esta distribución cúbica de las gotas, si de verdad su distribución es cúbica, es decir si nuestro nada es algo.

Estando la discusión en este punto, es como si el calor mismo produce la forma de octaedro a las gotas o divide toda la materia en una serie regular de estrellas, y así ayuda a la organización interna de cada bola por una colocación externa del conjunto. En ninguno de estos dos casos el orden puede existir con tal constancia por efecto del azar, pues en estos dominios lo natural es el caos.

Hay argumentos para creer más bien que cada gota se coloca por sí misma sin la ayuda de un contacto externo. Ya que si la forma de cada una provino del orden y el contacto mutuo de varias sería necesario que todas las estrellitas fuesen iguales las unas a las otras. Pero de hecho nosotros vemos una gran diferencia de tamaño entre ellas. Además, incluso su ordenación tiene mucho de extraño.

Entonces no hemos hecho ningún progreso, a no ser que aparezca la forma de demostrar que sea el calor interno el que solidifica la gota de vapor sobre tres diámetros, en la forma de un octaedro, o por lo menos en una forma hexagonal sobre la cual el vapor puede acumularse por condensación.

Alguien puede pensar que estas partículas con plumajes revolotean solitarias, y que en su caída se cruzan y encuentran al azar. Pero esto es un error: ellas no siempre se encontrarían en tres, ni en sus puntos medios, ni un único punto. Además todos los penachos se alejan hacia afuera lejos del centro de la estrella y son dirigidas hacía el exterior casi como las agujas de las ramas del abeto. Esto nos demuestra que el poder formativo reside en el centro y desde él se extiende por igual en todas las direcciones.

¿Pero quizás la causa de los tres diámetros pudiera ser que la dimensión de los animales sea también tres? Después de todo ellos tienen partes inferiores y superiores, frente y detrás, izquierdo y derecho. Si alguien dice eso se acercará a mi opinión pero sobrepasándola, y caerá en paradojas. Primero considere cual es la naturaleza de este calor, y si esto produce la semejanza de un animal con una estrella de nieve. Después debería preguntarse por las ventajas. ¿Qué tiene un animal en común con un copo de nieve? Un copo de nieve no tiene ninguna necesidad de tres dimensiones para vivir, es un ser sin vida. En tercer lugar considere cuidadosamente que las partes de un animal, como su arquetipo, no están tan adaptadas a figuras geométricas y al cubo, el primero de los poliedros regulares, como gobernadas por alguna necesidad para alcanzar su objetivo. Para la primera distinción, lo superior y lo inferior, depende de su hábitat, que es la superficie de la tierra; sus pies tienden hacia abajo para empujar contra el peso de su cuerpo; la cabeza está sobre la cima para engrasar los nervios continuamente con el fluido conveniente, de modo que ojos y oídos, muy alejados del suelo, abarquen el más amplio horizonte posible a la vista, libre de obstáculos; y finalmente de modo que el alimento obligado por su peso, y la bebida por su fluidez, desciendan a su lugar apropiado, y no requieran, como en las plantas fijas a un lugar, de la continua succión. La segunda distinción de frente y atrás es asignada a los animales para ejercer el movimientos y que puedan desplazarse de un lugar al otro en línea recta sobre la superficie de la tierra. Por consiguiente, estos dos diámetros no pueden sino cruzarse perpendicularmente, y demarcar una superficie. Pero ya que los animales no pueden ser superficies, sino que tienen cuerpo, un tercer diámetro, la diestra y siniestra, debería ser añadido necesariamente en razón de su corporeidad. Así el animal es casi doble, incluso en su movimiento hay distinción entre el motor y el móvil.

Por consiguiente, no son los cuerpos cúbicos los que, por su belleza, se asemejan al hombre, sino que es el hombre el que ha adquirido la similitud con el cubo, por la mezcla armoniosa de sus funciones y de sus elementos.

Después del examen de todas las ideas que pasaron por mi cabeza pienso que la causa de la forma de hexágono de un copo de nieve no es otra que la misma que produce las formas regulares y la constancia numérica que aparecen en las plantas. Nada ocurre sin una suprema razón -sin duda alguna- no ciertamente la razón que se descubre en el razonamiento discursivo sino la que ha estado desde el principio en el diseño del Creador y que desde aquel origen hasta hoy se ha conservado en la maravillosa naturaleza de las facultades de los animales; en consecuencia no puedo creer que esta forma ordenada del copo de nieve sea fruto del azar.

Hay entonces una facultad formativa en el seno de la tierra, y su portador es el vapor al igual que el alma humana es la portadora del espíritu: De modo que todo vapor que se produce, de la misma forma que debe al calor ser vapor y que depende del calor para mantener su existencia, así se mantiene por un principio formativo, que algunos llaman el calor artesano.

El resto de mi pensamiento lo expondré refutando dos objeciones. Alguno podría objetar que en las plantas, cuyo fin es la constitución de cierto cuerpo natural, ello implica que la razón formadora la ha precedido. Allí donde los medios están dispuestos para alcanzar cierto fin hay un orden, ningún azar, solo pura razón. Pero ningún fin se aprecia en la formación de un copo de nieve; la forma de seis ángulos no hace que la nieve sea mas duradera ni que se convierta en un cuerpo natural definido con forma fija y duradera. Mi respuesta es entonces que la razón formativa no actúa sólo para una finalidad, sino también para adornar. Ella no solo tiende a producir cuerpos naturales sino que también se divierte a menudo con ligeros juegos, como se muestra en muchos minerales. La razón de todo esto, lo que llamamos juegos de la naturaleza, yo le doy intención seria. Creo que el calor, que hasta entonces protegía la materia, ahora es conquistado por el frío circundante; aun animado por un principio formativo, se prepara para huir y ceder el orden a la materia, quedándose en los radios distribuidos en orden como un frente de ejercito más tiempo que en el resto de la materia. De esta forma procura no caer con deshonor y sin dignidad, como las historias que se cuentan de Olimpia[30].

Otro podía objetar que las plantas tienen cada una su propia capacidad vital, al igual que cada una tiene distinto cuerpo y por eso no nos debe extrañar que cada una tenga su forma peculiar. Pero imaginarse un alma individual para cada estrella de nieve es completamente ridículo, y por lo tanto las formas de los copos de nieve no deben en ningún caso ser deducidas de la operación de alma de la misma manera que las plantas.

Contesto: la semejanza es mucho mayor de todas formas que lo que este objetante podría creer. Concedamos que cada planta tenga sus propias facultades individualizadas pero estas descienden todas de una misma facultad universal, inherente en la tierra y se comporta con las plantas como la facultad del agua para los peces, del cuerpo humano a piojos, de los cuerpos de perros a pulgas, y de la oveja a alguna otra clase de piojo. No todas las plantas son originadas por semilla, pues la mayor parte de ellos surgieron espontáneamente, aunque después se hayan propagado por siembra. La facultad de la tierra es una e idéntica a sí misma, se encuentra en los cuerpos y con los cuerpos, injerta sobre ellos, y construye ahora un diseño, ahora el otro, según la condición interior de cada materia y las que permitan las circunstancias externas. Así también pasa con el vapor, que había sido poseído por el alma en su totalidad. Cuando el frío produce la desintegración de ese todo continuo, no es de extrañar que a causa de la contracción de las partes, sea la misma alma la que se ocupa enteramente de cada una de esas partes.

¡Cuan verdadero es que la vida sin la filosofía es la muerte! Si la famosa adúltera de la fábula de Esopo[31] hubiera conocido esta facultad formativa del copo de nieve, ella podría haber convencido a su marido de que su bastardo había sido concebido de un copo de nieve, y no habría sido privada de él por la astucia del marido[32].

He hablado sobre la causa de la forma. Queda preguntarse por la forma en sí misma. ¿Proviene del cruce de tres diámetros, como ha sido una de nuestras suposiciones hasta ahora?, o bien, ¿es hexagonal desde su origen? Dejemos esto para más tarde, mientras tanto debemos seguir nuestra línea argumental un poco más lejos. La razón por la qué esta facultad prefiere imitar la disposición de los ángulos del octaedro podría ser esta: primero, todas las almas tiene similitud con las figuras regulares de la geometría, y esto puede demostrarse con muchas pruebas. Las almas están hechas a la semejanza de Dios, el Creador, y no hay duda que el tipo auténtico de estas figuras existe en la mente de Dios el Creador y comparte su eternidad.

Más aún, ya que es completamente seguro que las almas reciben cantidades en su esencia íntima - con o sin materia, es lógico pensar que reciban cantidades con forma más que cantidades amorfas. Si son cantidades con forma, se trata de las formas regulares sólidas ya que las almas están ligadas a sólidos, y no a superficies. Entre los poliedros sólidos regulares, el primero, el primer nacido y el padre de todo el resto, es el cubo, y después su pareja, es decir, el octaedro, que tiene tantos vértices como el cubo tiene caras y esos vértices del octaedro ocupan los centros de las caras del cubo.

Es por eso que un fragmento despreciable de materia vaporosa, si asumiera alguna forma, como ya hemos hecho plausible, adoptara primero la del cubo y su pareja, el octaedro. En este mismo sentido actuaba la necesidad material señalada arriba, cuando las bolas de tamaño igual cayeron juntas en un montón. Ya que en el montón los contornos de cubos y octaedros fueron dibujadas en sus puntos de contacto. ¿Pero por qué la forma del octaedro más bien que la del cubo? ¿Es acaso porque el cubo es la forma de dilatación y el octaedro de contracción? La materia y la fuerza que engendra el calor se juntan ante el hostil ataque del frío. ¿Pero cómo puede estar seguro de cuál es la forma de dilatación y cual la de contracción?

Porque los mismos ocho vértices que le distinguen desde el exterior, están también a la misma distancia del centro. Además, si usted quita de un cubo sus ocho esquinas con secciones iguales y se colocan hacia adentro, se formara exactamente un octaedro; a su vez el cubo está formado por más vértices, ocho, y el octaedro por menos, seis.

Los lapidarios dicen que el octaedro es la forma natural más perfecta y exquisita, siendo encontrada en los diamantes. Si esto es así, nos sirve para apoyarnos. Pues la misma facultad del alma que construyó el diamante dentro de la tierra en esa forma, la del octaedro, sacada de lo más profundo de su naturaleza, cuando surgió de la tierra el vapor terminó generando el copo de nieve con la misma forma.

Sin embargo en lo que respecta al cruce de tres diámetros, no se encuentran más en la forma del octaedro que en la del cubo. En el octaedro se unen los vértices opuestos y en el cubo los centros de las caras planas los que están unidos por tres de tales diámetros. Allí los ángulos rectos entre los diámetros están dibujados en el centro, aquí en el cubo son los ángulos de sus vértices. Entonces nos hemos ocupado en vano sobre la mejor opción para la figura entera, cuando en realidad las dos tienen la misma estructura.

Quizá sea una locura haber llegado tan lejos. ¡En mi esfuerzo para dar casi nada casi no llego a nada! ¡Porque de este casi nada casi he formado un universo completo en sí mismo! Mientras que he evitado anteriormente el alma diminuta del ácaro más pequeño, he hecho salir de un simple copo de nieve el alma de un ser vivo colosal: el enorme globo que es la Tierra.

Ahora daré marcha atrás y haré esfuerzos de tal forma que lo dado y que lo dicho no sean nada. Esto ocurrirá si refuto estos argumentos triviales, tan rápidamente como mi copo de nieve se derrite, con otros contra-argumentos triviales y los reduzco a nada.

Conforme escribo, ha comenzado a nevar otra vez, y más densamente que hace un momento. He estado examinando afanosamente los pequeños copos. Pues bien, todos ellos han estado cayendo con formas radiales, pero de dos clases: unos muy pequeños con radios insertados alrededor, en número definido, pero de formas simples sin penachos o rayas, y muy finos, pero juntándose en el centro en un glóbulo ligeramente más grande. Estos fueron mayoría. Pero dispersos entre ellos estaban las estrellas más raras de seis esquinas de la segunda clase, planas y que flotaban o se venían a la tierra, con el juego de penachos en el mismo plano que su tallo. Además, en la parte inferior el copo tenía un séptimo radio hacia abajo como una raíz. Es sobre ese séptimo radio pequeño donde se posaban las estrellas al caerse y se mantenían algo de tiempo por encima del suelo. Esto lo había observado antes pero lo tomé en un sentido equivocado como si los tres diámetros no estuvieran en el mismo plano. Así que lo que he dicho hasta ahora está tan cerca en nada como el propio asunto.

La primera clase de copos es grumosa y esta formado, pienso, por el vapor que casi ha perdido su calor y está a punto de condensarse en gotas acuosas. Por ello los copos son redondeados, y no tienen tampoco hermosa forma, abandonados como están por el arquitecto [el calor], y tienen radios en todas las direcciones según los principios que fueron aplicados al examinar las formaciones de escarcha sobre las ventanas.

Pero en la segunda clase, es decir las estrellas primordiales, la observación sobre el cubo u el octaedro no tiene ningún lugar. Tampoco hay ningún contacto de gotas, ya que ellas se colocan como objetos planos y no, como pensé anteriormente, con tres diámetros cruzados.

Tanto que aquí también el alma formativa mantiene su lugar y permanece como una causa, y la pregunta debe ser realizada otra vez. Primero, ¿por qué plano? ¿Es porque me equivoqué al eliminar, como hice, las superficies planas entre las formadoras de cuerpos? Hay, después de todo, en todas las flores un pentágono plano, no un dodecaedro sólido. Si es así, la causa de la forma plana sería realmente esta: aquel frío toca el vapor caliente sobre un plano pero el vapor no rodea todo uniformemente cuando las estrellas primigenias se producen y cuando los grumos caen.

¿Y por qué de seis ángulos? ¿Es por qué el hexágono es la primera de las figuras regulares planas que no se une a sí misma para formar poliedros? En efecto los triángulos, cuadrados, y pentágonos, forman poliedros, ¿Es por qué el hexágono recubre el plano sin dejar huecos? Pero el triángulo y el cuadrado hacen lo mismo. ¿O es por qué el hexágono sea la forma que se acerca más al círculo entre todas aquellas figuras que rellenan el plano sin huecos? ¿Hay un criterio de diferenciación entre la facultad de producir cuerpos estériles, y la de formar cuerpos fecundos en el hecho de que la primera facultad forma triángulos, y hexágonos, y la otra forma los pentágonos? ¿O, finalmente, es la propia naturaleza la que tiene esta facultad formativa de los seis ángulos en lo íntimo de su ser?

Cinco causas han sido aducidas; la primera, segunda, y la tercera afirman que la facultad formativa proviene de un plan de acción acorde con lo ocurrido y prepara su ejercito en función del terreno, así si la batalla entre el vapor caliente y el aire frío ocurre en un plano y no en la profundidad de los cuerpos espaciales, entonces se escoge la forma plana más bien que la espacial. Así en la segundas y tercera causas esto provendría de la consideración de una necesidad material. Solo la primera causa se basa en el hexágono considerándolo la forma apropiada para la batalla citada. Una lucha que se produce sobre el plano genera necesariamente una forma plana, pero no necesariamente la forma que pueda combinarse consigo misma para producir un cuerpo sólido, pues los cuerpos físicos espaciales constan de formas planas que puedan configurar un poliedro, y no todas las formas planas pueden hacerlo. Se ha contemplado aquí la adecuación y la belleza de la forma, no su necesidad material.

Pero para las segundas y terceras causas deberíamos decir que el poder formador escoge, en virtud una necesidad material, sin ninguna duda la forma hexagonal para que no quede ningún hueco vació y para que la condensación de vapor en forma de nieve ocurra más cómodamente.

Un círculo sería lo más cómodo, pero deja espacios vacíos, y es forma más parecida al círculo la que ha sido escogida. Ahora bien, esta causa encuentra la objeción de que las estrellas de nieve son de tamaño desigual; unas son bastante diminutas y sus radios también son muy delgados, simples, y sin penachos. Ello va a mostrarnos que no hay ninguna gran superficie plana de vapor que se condensa simultáneamente en copos de nieve, pero si pequeños planos de tamaño diminuto, separados, uno tras otro, y de tamaños diferentes. Por consiguiente la anulación del espacio vacío no puede jugar ningún papel en el argumento, ya que esto es la regla sólo donde una superficie entera debe ser dividida en hexágonos iguales. El resultado deberá suprimir la segunda y terceras causas de la lista, excepto en la medida en que pueden reducirse a la primera, a saber que la facultad de formación escoge los seis ángulos, no bajo coacción de cualquier necesidad material o espacial, sino únicamente porque es atraído por lo apropiado del hexágono para cubrir el plano sin espacios vacíos y ser además la que más se asemeja al círculo entre las formas con la misma propiedad.

La cuarta causa tampoco puede tenerse en pie sin alguna aclaración. Ya que los lirios blancos están formados con pétalos agrupados de tres en tres o de seis en seis, y no son estériles; y lo mismo ocurre con muchos cálices de flores, principalmente silvestres.

A no ser que el criterio diferenciador sea quizás que de la flor pentagonal nazca una fruta carnosa como ocurre con las manzanas o las peras, o pulposas como las rosas y los pepinos, cuyas semillas están escondidas dentro de la carne o de la pulpa. De una flor de seis pétalos nada nace, salvo la semilla en un saco seco, y está en la flor como fruta. O quizás esta sea la diferencia, que entre los árboles o arbustos no haya ninguna flor hexagonal, mientras si las encontramos entre las hierbas y plantas con bulbos. Algún botánico bien podría examinar la savia de las plantas para ver si allí radican las diferencias entre las formas de sus flores. La cosa todavía no esta clara para mí: me conformo pues con haber llamado la atención a otros sobre esta cuarta causa.

Otras realizaciones de esta facultad formativa argumentan en favor de la quinta causa, por ejemplo el cristal de roca es siempre hexagonal, mientras que los diamantes octaédricos son sumamente raros. La facultad formativa de la Tierra no se limita sólo a una forma, ella conoce toda la geometría y es experta en su uso. He visto en el Palacio Real de Dresde, en el Establo, un panel de metal plateado del que sobresalía un dodecaedro[33] a la mitad de su profundidad del tamaño de una pequeña avellana, como si fuera casi como una flor. En una ilustración de las termas de Boll se muestra la parte delantera de un icosaedro rodeado de minerales.

Es probable, por lo tanto, que la facultad formativa sea diversa. En los sulfatos metálicos es común la forma cúbica romboidal, y la sal pétrea tiene su propia forma[34]. ¡No dejen los químicos de decirnos si tras un copo de nieve hay algo de sal, qué tipo de sal, y que forma se obtiene de esta manera! Ahora que ya hemos entreabierto las puertas de la química[35] y viendo cuánto me queda por decir para entender cual es la causa del fenómeno, más bien prefiero escuchar lo que un hombre de su gran ingenio piensa antes que cansarme más con otra disertación.

FINIS

Ediciones y enlaces:

1)      Edición latina:

http://www.thelatinlibrary.com/kepler/strena.html

2)      Edición francesa:

KEPLER, Johann. L'étrenne ou la niege sexangulaire. CNRS. Vrin. Paris, 1975. Edición de Robert Halleux y prefacio de René Taton.

3)      Edición inglesa:

KEPLER, Johann. The Six Cornered Snowflake: A New.Year's Gift. Paul Dry Books Inc, 2010. Edición con dibujos y notas matemáticas de Capi Corrales.

4)      Conferencia de Ralf Schauerhammer que desarrolla y contextualiza la obra:

http://www.schillerinstitute.org/newspanish/institutoschiller/Ci

encia/CopoNieve6Angulos.html

5)      Corrales, C. The use of mathematics to read the book of nature. About Kepler and snowflakes. Institut d’Estudis Catalans, Barcelona. 2010

http://www.mat.ucm.es/~ccorrale/pdfs/KeplerCorrales.pdJ

Adjunto: Construcción del rombododecaedro doblando papel a partir de una hoja Din A4

Vamos a construir el poliedro a partir de 12 módulos iguales que pueden ser fácilmente encajados. Podemos dividir la hoja en cuatro partes iguales semejantes a ella. De cada una de esas partes sacaremos un módulo, por lo que se precisan tres hojas.

Tracemos las paralelas cuartas en sentido ancho (las más cortas)

Doblando desde A llevemos U a M y desdoblemos. Doblando desde C llevemos S a N y desdoblemos.

Hemos obtenido los puntos P y Q.

Doblamos de nuevo por AP y en esa posición doblando por EC llevamos PT sobre HM quedando la siguiente figura:

Por último doblamos por HC el triángulo HTC (T está encima de M) hacia dentro.

Ya sólo nos queda repetir los dobleces empezando por doblar la figura última hacia delante por CQ, y al final entrelazar los dobleces, para que no queden todos los de una esquina sobre los de la otra.

Usando los triángulos AFG y CEH como enganches podemos coser las doce piezas obteniendo el rombododecaedro del que el rombo EGFH (o su reverso) es una cara.

(Observemos que las piezas tienen orientación y que por ello las doce piezas deben ser dobladas llevando U sobre M y S sobre N)

(Cortesía de Jesús García Gual)

Editorial Aviraneta

Director de la colección:

Jesús García Gual

ISBN:

Los encargados de la edición desean hacer constar su agradecimiento a Javier de Aviraneta por su estímulo y a Jesús García por su colaboración.

Madrid. Junio, 2011.

El autor

Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 27 de diciembre de 1571 - Ratisbona, Alemania, 15 de noviembre de 1630). Matemático y astrónomo imperial. Su formulación de las tres leyes sobre el movimiento planetario constituye uno de los mayores logros científicos de todos los tiempos. A las precisas mediciones de Tycho Brahe aportó Kepler la destreza matemática y su apertura de ideas, el resultado fue la ruptura con la forma circular. Dos poliedros regulares cóncavos llevan su nombre.

Notas

[←1]

Kepler va a comentar lo más pequeño de los cuatro elementos griegos: tierra, fuego, aire y agua.

[←2]

Se está refiriendo al Arenario de Arquímedes.

[←3]

El fuego se representa por un tetraedro regular, el único poliedro regular piramidal.

[←4]

Historia del rey persa Jerjes que llevaba siempre en campaña agua del río Choapes, porque era la única que bebía. Una vez que en un desierto estaba apunto de morir sediento aparece un benefactor que le salva dándole de beber de su propia mano.

[←5]

El búho es el símbolo de Atenas: está por todas partes.

[←6]

Los eleatas, la escuela de Parménides y Zenón, negaban el vacío y el movimiento. Las paradojas de Zenón son sofismas para demostrar que los sentidos nos burlan.

[←7]

Una polémica clásica anterior a Kepler.

[←8]

Johannes von Jessen, reputado medico anatomista, conocido de Kepler y amigo de Tycho Brahe.

[←9]

Todo el divertimento de Kepler se encuentra plagado de estos detalles que se pierden al traducir: nieve, nix, se pronuncia nicht que suena como nada en latín.

[←10]

Aristófanes en Las nubes ridiculiza las investigaciones de los socráticos.

[←11]

Los Salmos eran atribuidos al Rey David, antes pastor. Salmo 147, versículo 16: manda la nieve como lana.

[←12]

El párrafo está construido según el modelo escolástico de las causas, lo que le hace muy complejo y sofisticado.

[←13]

Las celdillas de un panel son prismas hexagonales cuyo fondo se cierra con un triedro formado por tres rombos iguales. Estas "quillas" se encajan entre tres quillas correspondientes a las celdillas de la capa opuesta del panel en la forma como se acoplan los dodecaedros rómbicos en sus vértices triedros al rellenar el espacio.

[←14]

Kepler habla de 14 poliedros arquimedianos. Había 13 formas y dos quirales Aunque Sommerville cae en la cuenta de que el 4443 admite dos formas distintas no simétricas, lo hace al comienzo del siglo XX.

[←15]

Macla de dos tetraedros que contiene al octaedro y forma un cubo

[←16]

Rombododecaedro, poliedro de Catalan, dual del cubooctaedro.

[←17]

Triacontaedro rómbico, poliedro de Catalan, dual del icosidodecaedro

[←18]

Al contar cubos que tienen contactos en vértices, en aristas y caras, Kepler está contando de más. Un cubo sólo se pone en contacto con otros veintiséis.

[←19]

Conjetura de Kepler hasta su reciente casi conversión en teorema.

[←20]

Kepler explica por qué el dodecaedro rómbico tiene vértices de tres planos y de cuatro planos.

[←21]

Kepler no hace aquí referencia al octaedro truncado arquimediano, propio de la red cúbica centrada en el cuerpo ni al resto de las formas cristalinas.

[←22]

El libro IV de Las Geórgicas está dedicado a la apicultura.

[←23]

Aristóteles atribuía alma también a los vegetales pero de un tipo elemental, la vegetativa.

[←24]

Como irracional, el número áureo Φ se obtiene como límite de una sucesión infinita.

[←25]

El número áureo se obtiene como el límite del cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci.

[←26]

Hoy decimos recurrente.

[←27]

Principio del horror vacui de la materia.

[←28]

Se trata de tres diámetros formando un triedro trirrectángulo.

[←29]

Sin un modelo construido es difícil de ver, solo la maestría de Kepler con los poliedros le permite hacer estas afirmaciones tan certeras. El dodecaedro rómbico es el dual del cuboctaedro.

[←30]

Reproduce la historia de la muerte digna de la ajusticiada madre de Alejandro Magno.

[←31]

Fábula que recoge en una edición alemana: una mujer que se queda embarazada durante una larga ausencia del marido y que atribuye a un copo de nieve su fecundación.

[←32]

El marido vende al bastando diciendo que se ha derretido.

[←33]

Se debe referir al piritoedro, la forma natural que más se parece a un dodecaedro regular.

[←34]

La forma rombododecaédrica es propia de los granates (silicatos), pero Kepler no los menciona.

[←35]

Kepler intuye que será la química quien dará respuesta a las cuestiones planteadas.

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